Postupnosť je funkcia, ktorej definičným oborom je množina všetkých prirodzených čísel N. Funkčná hodnota tejto funkcie priradená číslu "n" € N sa nazýva n-tý člen postupnosti a označujeme ho najčastejšie „an"; „bn"; a podobne.

 

Postupnosť s n-tým členom an sa potom označuje { an }.

 

Napríklad postupnosť všetkých prirodzených nepárnych čísel je funkcia, ktorá číslu 1 priraďuje číslo a1 =1; číslu 2 číslo a2 = 3; číslu 3 číslo a3 = 5. Všeobecne číslu „n" číslo

an = 2n - 1.

Napíšeme si postupnosť týchto čísel: 1- a1 , 3- a2 , 5- a3 , 7- a4 , 9- a5 .

 

Grafom postupnosti sú jednotlivé (izolované) body. Napríklad pre našu postupnosť nepárnych čísel sú to body, ktorých pravouhlé súradnice sú: [1,1][2,3][3,5][4,7] [5,9].

 

Funkčný predpis postupnosti je spravidla zadaný jedným z nasledujúcich spôsobov:

 

a/ vzorcom: vyjadrujúci n-tý člen postupnosti{ an } pomocou n. Napríklad pre našu postupnosť všetkých nepárnych prirodzených čísel je an = 2n - 1, n € N a túto postupnosť stručne zapíšeme {2n - 1}.

 

b/ rekurentne: udaním prvého člena postupnosti a rekurentného vzorca, ktorý

vyjadruje (n + 1) člen postupnosti pomocou predchádzajúcich členov.

 

Typy postupnosti:

1/ Ohraničená postupnosť: ak existuje také číslo C, že platí / an/ ≤C

2/ Rastúca postupnosť: pre ňu platí an + 1 > an

3/ Klesajúca postupnosť: pre túto postupnosť platí an + 1 < an

(napríklad ak máme postupnosť čísel 12,10,8,6,...)

 

Poznáme aritmetickú a geometrickú postupnosť. Zapíšeme si ich nasledovne:

 

Aritmetická postupnosť: je to už naša spomínaná postupnosť prirodzených nepárnych čísel 1,3,5,7,9,11, ...

Definujeme si ju rekurente: an + 1 = an + d » d = nazývame diferenciou

(a,d- reálne čísla)

 

V našom prípade má hodnotu 1 . Je to vlastne rozdiel medzi jednotlivými členmi postupnosti.

 

Ak máme postupnosť: 3, 7, 11, 15, 19, .... tak v tomto prípade je d (diferencia) rovná 4.


Vety platné pre aritmetickú postupnosť

a/ n-tý člen vyjadríme: an = a1 + (n-1) . d

b/ pre ľubovolné 2 členy platí: as = ar + (s-r) . d

c/ pre súčet prvých n-členov postupnosti platí:


 

Geometrická postupnosť: tú definujeme rekurentne an + 1 = an . q a1 = a ; kde a, q sú reálne čísla a q = kvocient geometrickej postupnosti.

 

Napríklad postupnosť {2n} je geometrická s prvým členom a1 = 2 a kvocientom q=2.

 

Zostavíme si túto postupnosť: 2 , 22, 23 24, 25

  2  4    8  16   32

 

Vety pre geometrickú postupnosť:

a/ n-tý člen vyjadríme: an = a1 . qn-1

b/ pre ľubovolné dva členy postupnosti as = ar . qs-r


c/ pre súčet n-členov sn= a1 .



Príklad: Určte aritmetickú postupnosť, v ktorej platí:


a1 + a5 = 30 a3 + a4 = 36

 

vyjadríme si pomocou 1- člena ostatných členov postupnosti

a5 = a1 + 4d ; a3 = a1 + 2d; a4 = a1 + 3d


vyjadrené dosadíme a dostaneme sústavu rovníc:

         a1 + a1 +4d = 30

a1 + 2d + a1 + 3d = 36

              2a1 + 4d = 30

               2a1 + 5d = 36                   

 

Úpravou a odčítaním dostaneme   +d = 6

 

z toho:   2a1 + 4.6 = 30

 2a1 = 6

   a1 = 3                         » d = 6 ; a1 = 3

27.10.2009 17:37:10
Gabi






optimalizace PageRank.cz
Romanovy stranky
© 2009 - 2011 | WideZone™ | All rights reserved
Romanovy stranky

optimalizace PageRank.cz

Name
Email
Comment
Or visit this link or this one