Neurčitý integrál; metódy per partes a substitučná

1.1  Definícia a základné vlastnosti (pravidlá)

 

Definícia: Majme funkciu f a jej definičný obor D. Primitívna funkcia, a teda neurčitý integrál funkcie f na D je každá funkcia F, definovaná na D, pre ktorú platí:

 

 

Túto primitívnu funkciu (neurčitý integrál) označujeme:

 

Základné vlastnosti:

 

 

1.2  Elementárne integrály

 

Snahou pri integrovaní funkcií, je dostať ich do tvaru jednoduchých, elementárnych funkcií, ktoré vieme riešiť buď priamo alebo použitím rôznych metód (per partes, substitučná metóda).

Na rozdiel od derivácií je integrovanie omnoho náročnejšie nakoľko neexistujú žiadne pravidlá pre integrovanie súčinu, podielu alebo zložitej funkcie. Okrem toho platí pravidlo, že ak ku primitívnej funkcii existuje jedna, je ich nekonečne veľa  a líšia sa o konštantu.

Základné (elementárne) integrály sú uvedené v tabuľke, kde na jej pravej strane sa nachádza integrál funkcie (primitívna funkcia) a na ľavej strane tabuľky je jeho riešenie.

 

Tabuľka elementárnych integrálov:

 

 

 

1.3  Substitučná metóda

 

-    je to metóda, ktorá sa zakladá, ako už sám názov hovorí na substitúcii, a teda na nahradení zložitého tvaru funkcie jednoduchším

-    zintegrujme funkciu

(1)   Vidíme, že je to funkcia zložitá a neexistuje pre ňu žiaden vzorec.

(2)   Prehlásime, že

3x + 7 = t

(3)   Zderivujeme pravú aj ľavú stranu, pričom právu stranu derivujeme podľa t a ľavú podľa x. Dostávame:

(4)   Z tohto vzťahu si vyjadríme dx. Do pôvodného integrálu za (3x + 7) dosadíme t a za dx dosadíme

(5)   Dostávame:

(6)   Uplatníme dve pravidlá

(7)   Dostávame:

 

(8)   Posledným krokom je dosadenie do výsledného vzťahu pôvodný tvar t:

 

1.4  Metóda per partes

 

-    je to metóda založená na využití vzorca:

-     v jednoduchších prípadoch vieme vyriešiť príklad už v jednom kroku, tým myslím, že jednou úpravou dostaneme za integrálom vzťah, ktorý už vieme riešiť. Vo väčšine prípadov, je však potrebné integrál po prvom kroku riešiť znova použitím tejto metódy a vtedy dostávame sled niekoľkých integrálov za sebou.

-     zintegrujme funkciu

(1)   Musíme sa rozhodnúť, ktorý z členov bude u' a ktorý bude v. Vidíme, že pre integrovanie ln(x) nepoznáme vzorec, a preto:

(2)   Ďalším krokom je vytvorenie u a v'

 

 

(3)   u, v, u', v' dosadíme do základného vzorca:

 

(4)   Teraz sa pozrieme na to, čo nám vzniklo za integrálom. Vidíme, že je to jednoduchá funkcia, ktorú vieme riešiť a stačia nám na to základné vzorce:

(5)   Nakoniec to všetko dáme dokopy:

 

 

2.1 Neriešené príklady

1)      Riešte substitučnou metódou:

2)      Riešte metódou per partes:

 

 

2.2 Výsledky

1)     

2)     

27.10.2009 17:29:34
Gabi






optimalizace PageRank.cz
Romanovy stranky
© 2009 - 2011 | WideZone™ | All rights reserved
Romanovy stranky

optimalizace PageRank.cz

Name
Email
Comment
Or visit this link or this one