1. Základné pojmy

Orientovaná úsečka - je úsečka, na ktorej sme presne zadefinovali jej začiatočný bod a konečný bod. Môže byť súhlasne alebo nesúhlasne orientovaná.

 

Vektor - je množina súhlasne orientovaných úsečiek, ktoré majú rovnakú veľkosť. Každý vektor je určený smerom, veľkosťou a orientáciou. Vektor môžeme tiež definovať ako usporiadanú k-ticu alebo tzv. posunutie.

 

Označenie vektorov - tri základné spôsoby :

 

  • a, b, c.....x, y teda malými tučnými písmenami
  • AB, CD....XY tento zápis symbolizuje úsečku, ktorej začiatočný bod je A, C...X a koncové body sú B, D....Y
  • v tomto prípade šípka nad vektorom symbolizuje jeho smer
 
 
Súradnice vektora
 
  • sú súradnice jeho koncového bodu v takom umiestnení vektora, keď začiatočný bod je zhodný so začiatkom súradnicovej sústavy,
  • označenie
  • určenie súradníc vektora , ktorý je tvorený bodmi A, B

 

na priamke:

 

v rovine :

 

v priestore :

 

 

 
Nulový vektor
 
  • množina všetkých nulových úsečiek
  • II = 0
  • označenie 0,

 

 
 
Jednotkový vektor
 
  • je vektor, ktorého veľkosť je rovná jednej. Nesie iba informáciu o smere vektora.
  • || = 1
  • označenie , resp. v prípade karteziánskej súradnicovej sústavy je to
 
 
Opačný vektor
 
  • opačný vektor k danému vektoru, vektor, ktorý má rovnakú veľkosť ako pôvodný vektor, ale opačný smer (viď. obrázok)
  • obrázok :

 
 
 
 
Veľkosť vektora AB
 
  • je vlastne dĺžka úsečky AB
  • označenie |AB|
  • výpočet
 

 

 
 
Stred úsečky AB
 
  • súradnice stredu úsečky AB sú aritmetickým priemerom súradníc bodov A, B
 
 
 
Totožnosť vektorov - orientované vektory, ktoré majú ten istý smer a tú istú orientáciu reprezentujú ten istý vektor
 
 
 
 
Rovnosť vektorov - dva vektory sa rovnajú, ak sa rovnajú ich súradnice, t.j. ak máme vektory :
, ,
 
tak tieto vektory sa rovnajú ak platí :

 
 
 
 
Uhol vektorov ,
 
  • je uhol AXB, kde XA je umiestnenie vektora a XB je umiestnenie vektora
  • tento uhol je vždy z intervalu <0, 180°>
  • pre tento uhol platí vzťah :
  •  

 

  • podobne môžeme odvodiť tento vzťah aj pre uhol v priestore :

 

 
 
 
Kolmosť a rovnobežnosť vektorov
 
  • dva vektory sú kolmé ak platí :

 

 

  • dva vektory sú rovnobežné práve vtedy, ak podiely ich prvých, druhých aj tretích súradníc sú zhodné :

 

 

súhlasne rovnobežné k > 0

nesúhlasne rovnobežné k < 0

 
 
 
 
Pravidlá pri počítaní vektorov
 
a + b = b + a
 
a - b =(-b)+ a
(a + b)+ c = a +(b + c)
 
a + 0 = a
 
1*a = a
 
(-1)*a = -a
 
m*0 = 0
 
m*(n*a)= (m*n)*a
 
(m + n)*a = m*a + n*a
 
m*(a + b) = m*a + m*b
 

 

  1. Príklad
Vektor je tvorený bodmi A[4; 2] a B[2; 2] a vektor je tvorený bodmi C[1; 2√3] a
D[-1; 0]. Určite súradnice vektorov a veľkosť vektorov. Zistite, či sú vektory rovnobežné alebo kolmé a ak nie sú, určite uhol, ktorý zvierajú
 
 
 
 
Riešenie:

 

 
 

 

  • Kolmosť :

 

 


  • Rovnobežnosť

 




  • Uhol


 

 

  1. Neriešené príklady
  • Určite hodnoty m, n tak, aby vektory ; boli

rovnobežné .......................................................................[m = -1/3; n =1/3]

  • Určite uhol vektorov , ktorý je tvorený bodmi A[4; 4] a B[0; 2] a vektor , ktorý je

tvorený bodmi C[-2; 0] a D[-3; -3]………………………………..[φ = 45°]

 
 
27.10.2009 17:23:06
Gabi






optimalizace PageRank.cz
Romanovy stranky
© 2009 - 2011 | WideZone™ | All rights reserved
Romanovy stranky

optimalizace PageRank.cz

Name
Email
Comment
Or visit this link or this one