Sinusovú vetu môžeme použiť pri určovaní neznámych dĺžok strán a veľkostí vnútorných uhlov trojuholníka vtedy, keď dva z troch daných prvkov sú dĺžka strany a veľkosť uhla ležiaceho proti nej.

 

Teraz si predstavme, že poznáme dĺžky všetkých strám trojuholníka a chceme určiť veľkosti všetkých jeho vnútorných uhlov. Podľa vety sss o zhodnosti trojuholníkov sú hladané čísla určené jednoznačne, ale pomocou nám známej sinusovej vety ich nevypočítame.

 

Podobne je to aj vtedy, keď sú dané veľkosti dvoch strám trojuholníka a uhla nimi zovretého, a našou úlohou je zistiť dĺžku tretej strany a veľkosť zvyšných uhlov.

 

V uvedených prípadoch musíme pristúpiť k použitiu kosinusovej vety:

 

Nech ABC je ľubovoľný trojuholník s veľkosťami vnútorných uhlov a,b,c a dĺžkou strán a,b,c. Potom platí:

 

 

 

 

Príklad:

Vypočítajte veľkosti vnútorných uhlov v trojuholníku ABC, ktorého dĺžky strán sú a = 6,9,

b=4,5, c=3,1

 

Riešenie:

Využijeme najskôr časť a) kosínusovej vety na výpočet uhla £.

a2 = b2 + c2 - 2bc cos £

 

Z toho:

b2 + c2- a 2

cos £ = ---------

2bc

4,32 + 3,12 - 6,92

cos £ = --------------- = - 0,731

2.4,3.3,1

 

Odtiaľ veľkosť uhla £ = 137o

 

Veľkosť vnútorného uhla ß, môžeme opäť vypočítať z kosínusovej vety, časť b/

b2 = a2 + c2 - 2ac cos ß

teda:

c2 + a2- b 2

cos ß = --------- podosadení dostaneme:

2ca

 

 

cos ß = 0,905 3

 

Odtiaľ dostaneme veľkosť uhla ß = 28o

 

Pre uhol γ bude platiť:

 

γ = 180o - (£ + ß) = 180o - (137o2´+ 28o8´) = 17o50´

Veľkosť uhla γ = 17o50´

 

Záver: Uhly v trojuholníku ABC majú tieto hodnoty:

 

uhol £ = 137o

uhol ß= 28o

uhol γ = 17o50´

 

Príklad:

V trojuholníku ABC platí: a = 51,34, b=34,75, γ= 64o30´

Vypočítajte veľkosť uhlov £,ß a dĺžku strany c.

 

Riešenie:

Najskôr pomocou kosinusovej vety vyrátame dĺžku strany c.

 

 

c2 = a2 + b2 - 2ab cos γ

c2 = 51,342 + 34,752 - 2.51,34.34,75.cos64o30´= 2307,24

c = 48,03

 

Pomocou sinusovej vety, určíme uholß.

 

b c

---- = ---- dosadením dostaneme:

sin ß sin γ

 

sinß = 0,6530 ß= 40o46´

 

a = 180o - (ß+γ) = 180o - (40o46´+ 64o30´) = 74o44´

 

Záver: strana c = 48,03

Uhol ß = 40o46´

Uhol £= 74o44´

 

27.10.2009 17:23:43
Gabi






optimalizace PageRank.cz
Romanovy stranky
© 2009 - 2011 | WideZone™ | All rights reserved
Romanovy stranky

optimalizace PageRank.cz

Name
Email
Comment
Or visit this link or this one