Analytická geometria v rovine

Ako prvé si definujme, čo je to kružnica.

Pri geometrických konštrukciách pomocou pravítka a kružidla okrem priamky má najväčší význam kružnica, ktorú môžeme definovať nasledovne:

Kružnicaje množina všetkých bodov roviny, ktoré majú od daného bodu S tejtoroviny (stredu kružnice) rovnakú vzdialenosť(obr.1). Úsečku, ktorej jedným bodom je stred kružnice S a druhý ľubovoľný bod kružnice, nazývame polomerom kružnice - označujemeho malým písmenom r.

Ľubovoľnú úsečku, ktorej krajné body sú dva rôzne body kružnice, nazývame tetivou kružnice. Tetiva, ktorá prechádza stredom kružnice sa nazýva priemerom kružnicea označujeme ju malým písmenkomd a platí: 2r = d.

Pre dĺžku kružnice o polomere r platí vzorec:

Ok=

Kde r - polomer kružnice

- Ludolfovo číslo, ktorého hodnota sa rovná približne 3,141 59


Množinu všetkých bodov v rovine, pre ich vzdialenosť v od stredu danej kružnice o plomere r platí:

  1. v < r nazývame vnútrajškom kružnice

  2. v > r nazývame vonkajškom kružnice




Rovnica kružnice:


Pre analytické vyjadrenie kružnice môžeme odvodiť tieto vety:


V.1. Kružnica so stredom v počiatku súradnicového systému (S=O) a s polomerom r má rovnicu, ktorú nazývame stedovou rovnicou kružnice:


x2 + y2 = r2


V.2. Kružnica so stredom S (m,n) a polomerom r má rovnicu v tvare:

(x - m)2 + (y - m)2 = r2

Tento tvar rovnice kružnice nazývame tiež stredový tvar rovnice kružnice.


V.3.

a) Rovnicu každej kružnice môžeme vyjadriť vo všeobecnom tvare:


x2 + y2 + Ax + By + C = 0

kde A,B,C R


b) Obrátená veta neplatí, lebo každá rovnica tohto tvaru nemusí byť rovnicou kružnice. Môže ňou byť iba vtedy, ak sa daná rovnica dá previesť na tvar uvedený vo vete 2.

Podmienka: A2 + B2 > 4C


Príklad:

Napíšte rovnicu kružnice, ktorá má stred v počiatku súradnicového systému a prechádza bodom M


Riešenie:

Nakoľko M ≠0, hľadaná kružnica existuje a jej rovnica má tvar x2 + y2 = r2.

Bod M na nej leží, preto jeho súradnice x = 2, y = - 3 rovnici vyhovujú, takže platí:


Hľadaná rovnica kružnice bude mať tvar:

x2 + y2 = 13




Riešenie:

Pretože A S, hľadaná kružnica skutočne existuje.

Dosadíme do stredového tvaru súradnice stredu: m = - 4; n = 5, potom dostaneme túto rovnicu:

(x + 4)2 + (y - 5)2 = r2 znamienko + je preto, lebo

- . - = +

Zostáva nám určiť jej polomer = r. Bod A na tejto kružnici leží, preto jeho súradnice x = 6;

y = 1 rovnici vyhovujú, t.j. platí:

(6 + 4)2 + (1 - 5)2 = r2

upravíme: 102 + (- 4)2 = r2

116 = r2  r=     

Rovnica kružnice vyhovuje podmienkam našej úlohy, tak ju môžeme uviesť v stredovom tvare nasledovne:

(x + 4)2 + (y - 5)2 = 116





túto rovnicu môžeme previesť do všeobecného tvaru za použitia vzorcov:

(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2

(a - b)2 = a2 - 2.a.b + b2

x2 + y2 + 8x - 10y - 75 = 0


Príklad:

Dokážte, že rovnica x2+ y2 + 6x - 8y + 21 = 0 je rovnicou

kružnice, určte jej polomer a stred:


Riešenie:

Ak existuje kružnica k (S,r), ktorú máme udanú, tak má rovnicu:

(x - m)2 + (y - m)2 = r2

k tejto rovnici prídeme tak, že zadanú rovnicu si upravíme do všeobecného tvaru a to nasledovne:


x2 + 6x + y2 - 8y = - 21

členy s neznámou x aj y dorátame do štvorca, pričom tie isté

hodnoty dorátame aj na druhú stranu rovnice:

x2 + 6x + 9 + y2 - 8y + 16 = - 21+ 9 +16

upravíme do vzorca:

(x + 3)2 + (y - 4)2 = 4

Zo získanej stredovej rovnice kružnice teraz určíme stred kružnice a

jej polomer:


m = - 3;    n = 4;                  S (- 3,4);         r =  = 2


Príklad:

Napíšte rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi:

A(7,3); B(- 2,6); C(5,- 1)


Riešenie:

Ak existuje hľadaná kružnica, potom má rovnicu:

x2 + y2 + Mx + Ny + L = 0

Predpokladáme, že bod A leží na kružnici, takže dosadíme do rovnice súradnice x,y.

Obdobne to isté platí pre bod B a C. Dostaneme nasedovné rovnice:


Dosadzujeme súradnice bodu A:

72 + 32 + M.7 + N.3 + L = 0

49 + 9 + 7M + 3N + L = 0

58 + 7M + 3N + L = 0

Dosadzujeme súradnice bodu B:

(- 2)2 + 62 - 2M + 6N + L = 0

40 - 2M + 6N + L = 0

Dosadzujeme súradnice bodu C:

52 + (- 1)2 + 5.M - 1.N + L = 0

26 + 5M - N + L = 0


Vzniknuté rovnice si napíšeme pod seba a dostaneme sústavu troch rovníc s tromi neznámimi:

58 + 7M + 3N + L = 0

40 - 2M + 6N + L = 0

26 + 5M - N + L = 0

Riešením tejto sústavy rovníc nám vychádza: M = - 4; N = - 6; L = - 12

Dané tri body určujú kružnicu o tejto rovnici:


x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0

po úprave na stredový tvar:

(x - 2)2 + (y - 3)2 = 25


27.10.2009 17:24:31
Gabi






optimalizace PageRank.cz
Romanovy stranky
© 2009 - 2011 | WideZone™ | All rights reserved
Romanovy stranky

optimalizace PageRank.cz

Name
Email
Comment
Or visit this link or this one