V tejto kapitole sa budeme venovať pojmu funkcie a aj ďaľším pojmom, ktoré s  funkciou úzko súvisia ( napr. definičný obor funkcie, obor hodnôt funkcie, graf funkcie atď). Postupne zavedieme niektoré základné vlastnosti funkcií, ktoré budeme potrebovať pri štúdiu priebehu funkcie.


Pojem funkcie je jeden z najvýznamnejších pojmov matematiky. Vznikol pri sledovaní zmien a závislosti rôznych javov, s ktorými sa človek stretával v bežnom živote, pri štúdiu prírody atď.

 

A/ Pojem funkcie

S pojmom funkcie sme sa stretávali už na ZŠ, hlavne pri riešení rovníc a nerovníc pomocou grafov lineárnych rovníc.


Uvediem niekoľko príkladov funkcií:


a/ Reálnym číslam x priraďujeme hodnoty výrazu 3x - 2, hovoríme o lineárnej funkcii, zapisujeme ju

y = 3x - 2

b/ Reálnym číslam x priraďujeme hodnoty trojčlena x2 - 4x + 5, hovoríme o kvadratickej funkcii a môžeme ju zapísať v tvare

y= x2 - 4x + 5

V uvedených prípadoch sme prvkom istej množiny priraďovali pomocou určitého predpisu prvky množiny R všetkých reálnych čísel, a to jednoznačne. Pojmom funkcia vyjadrujeme v matematike práve také priraďovanie reálnych čísel prvkom určitých množín.

 

Definícia:

 

Funkciou na množine A sa nazýva predpis, ktorým je každému prvku množiny A priradené práve jedno reálne číslo.


Množinu A nazývame definičný obor funkcie.


Funkcie označujeme malými písmenami: f,g,h...

Množinu, ktorá je definičným oborom funkcie označujeme D(f)

Dôležité zápisy a termíny:


1./ Majme ľubovoľnú funkciu g: y = √ x, x patrí do množiny R+0

Z daného nám vyplýva, že nezáporným číslam x môžeme priraďovať ich druhé mocniny, pričom každému x zodpovedá práve jedno číslo √ x.

Danú funkciu y = √ x čítame: „funkcia je daná rovnicou y = √ x, kde x є R+0".

Záver tohto zápisu udáva definičný obor funkcie: D(g) = R+0.


2./Ku každému číslu x0 є R+0, ktoré si zvolíme, môžeme vypočítať √ x0 , ktoré mu je našou funkciou g priradené. Napríklad číslu 4 priradíme číslo 2. Túto skutočnosť zapíšeme v tomto tvare: g(4) = 2.

g(4) - nazývame hodnota funkcie g v bode 4, alebo môžeme hovoriť aj funkčná hodnota.


3./ Definičný obor funkcie g tvoria všetky reálne čísla, pre ktoré má výraz √ x zmysel.


4./ Teraz máme určiť množinu H(g) všetkých takých y patriacich do R, ktoré sú priradené aspoň jednému x є D(g), t.j. tých y, pre ktoré platí y = √ x.

Ak zvolíme akékoľvek y, tak vždy existuje x, pre ktoré platí y = √ x, ide o číslo x = y2 . Toto platí iba pre kladné reálne čísla, pretože druhá odmocnina je vždy nezáporné číslo. Z toho platí, že H(g) = R+0.

Množinu H(g) nazývame oborom hodnôt funkcie g.

 

Definícia:

 

Oborom hodnôt funkcie f sa nazýva množina všetkých y R, ku ktorým existuje aspoň jedno také x D(f), že y = f(x).

Túto množinu označujeme H(f).


 

Príklad:

Je daná funkcia f:

                  1

y = −−−−−−−−−−−

           x2 - 3x +2

a/ zapíšte jej definičný obor pomocou zjednotenia intervalov

b/ nájdite hodnotu funkcie f v bode 3

c/ rozhodnite, či číslo 5 platí do oboru hodnôt funkcie f.


Riešenie:

a/ Definičným oborom našej funkcie f je množina takých čísel x, pre ktoré má výraz

           1

------------ zmysel, t.j.pre ktoré x2 - 3x +2≠ 0.

    x2 - 3x +2       Tento kvadratický trojčlen rozložíme na  

                             súčin (x - 1)(x - 2). A tento súčin sa nesmie rovnať 0.


Čiže dostávame x ≠ 1 a zároveň x≠ 2. Odtiaľ vyplýva

D(f) = ( -∞, 1)u(1,2)u (2, +∞).


b/ Funkčnú hodnotu f(3) získame tak, že do daného výrazu za premennú x dosadíme číslo 3.


           1               1

---------- = ---- = 0,5

    9 - 3.3 +2       2

Tým pádom dostaneme f(3) = 0,5


c/ Našou úlohou je rozhodnúť, či existuje x є D(f), pre ktoré platí 5 = f(x), t.j.

                  1

5 = -------------                                           (1)

         x2 - 3x +2

Teraz ideme zistiť, či naša rovnica č.1 má v množine D(f) neprázdnu množinu koreňov.


Úpravou dostaneme kvadratickú rovnicu


x2 - 3x +1,8 = 0                                        (2)

a jej riešením získame dva korene:

          3 + √1,8

x1 = ----------

                2



3 - √1,8

x2 = ----------

               2

Oba korene vyhovujú našej rovnici, teda 5 є H(f).

27.10.2009 17:11:22
Gabi






optimalizace PageRank.cz
Romanovy stranky
© 2009 - 2011 | WideZone™ | All rights reserved
Romanovy stranky

optimalizace PageRank.cz

Name
Email
Comment
Or visit this link or this one