Absolútna hodnota reálneho čísla

Z algebrického významu je absolútna hodnota reálneho čísla nezáporné reálne číslo |a|, pre ktoré platí:

 

ak a ≥ 0 ⇒ | a |‌ = a; ak a < 0 ⇒ | a |‌ = - a


 

Vlastnosti absolútnej hodnoty:

 

forall a, b in R:

‌ a ‌ ≥ 0; ‌ | a = ‌ | - a | |‌

|‌‌ a . b |‌‌ = |‌‌ a |‌‌ . |‌‌ b |‌‌ ;

left|a . b right| = left|a right| . left|b right|; left|frac{a}{b} right| = left|frac{a}{b} right|, b neq 0

|‌‌‌ a + b |‌‌‌ ≤ |‌‌‌a |‌‌‌ + |‌‌‌ b |‌‌‌

‌|‌‌a - b |‌‌‌ ≥ ‌ |‌‌a ‌|‌‌ - ‌|‌‌ b ‌|‌‌

 


Geometrický význam absolútnej hodnoty:

Číslo |a | je vzdialenosť obrazu čísla a od obrazu čísla 0 na číselnej osi.

Číslo | a - b | je vzdialenosť obrazu čísla a od obrazu čísla b na číselnej osi pri danej jednotke.

Definíciu a vlastnosti absolútnej hodnoty využívame pri riešení úloh ako zjednodušiť výraz obsahujúci absolútnu hodnotu, riešiť rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou, funkcie s absolútnou hodnotou.


Pri rovniciach a nerovniciach typu ‌ x ‌ = r, ‌ x ‌ < r, ‌ x ‌ > r, ‌ x - a ‌ < r, ‌ x - a ‌ >r a podobne, je vhodné využiť geometrický význam absolútnej hodnoty. Pri rovniciach a nerovniciach s viacerými absolútnymi hodnotami sa používa metóda nulových bodov.


 

Príklady:

 

1. Upravte výraz A (x) = ‌ 1 - x ‌ + x tak, aby neobsahoval absolútnu hodnotu!

 

Riešenie:


Absolútnu hodnotu vieme odstrániť, ak poznáme znamienko výrazu 1-x.

  1. 1 - x ≥ 0, x ≤ 1, ‌ |1 - x |‌ = 1 - x, A(x) = 1 - x + x = 1 alebo

  2. 1 - x < 0, x > 1, ‌| 1 - x |‌ = x - 1, A(x) = x - 1 + x = 2x - 1


Zapíšeme:

A(x) = 1 pre x in ]- ∞, 1]

 

A(x) = 2x - 1 pre x in ]1, ∞[


2. Riešme v R nerovnicu: | x |‌ + |‌ 2 - x |‌ < 2 !

 

Riešenie:


Použijeme metódu nulových bodov. Najskôr určíme množinu x in R, pre ktoré je niektorý výraz x, 2 - x rovný nule. Body x = 0, x = 2 nazývame nulové body. Tieto rozdelia množinu R na intervaly: I1 = ]-∞, 0]; I2 = [0, 2]; I3 = [2, ∞[.

V každom tomto intervale zistíme znamienko výrazov x, 2 - x a vyjadríme ich absolútne hodnoty. Úlohu riešime na každom intervale, dostaneme tri obory pravdivosti.


Uvedený postup zostavíme do tabuľky:

 

]-∞, 0]

[0, 2]

[2, ∞[

x ‌

-x

x

x

2 - x ‌

2 - x ‌

2 - x ‌

x - 2 ‌

L' (x)

- x + 2 - x

x + 2 - x

x + x - 2

 

- 2 x + 2 < 2

- 2 x < 0

x > 0

2 < 2

x in Ø


2x - 2 < 2

2x < 4

x < 2

 

 

P1 = ] - ∞, 0] ∩ ]0, ∞[ = Ø

P2 = Ø

P3 = ]- ∞, 2[ ∩ [2, ∞[ = Ø

P = P1 U P2 U P3 = Ø

27.10.2009 17:04:56
Gabi






optimalizace PageRank.cz
Romanovy stranky
© 2009 - 2011 | WideZone™ | All rights reserved
Romanovy stranky

optimalizace PageRank.cz

Name
Email
Comment
Or visit this link or this one