Sústava dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi (riešenie pomocou porovnávacej metódy)

Naučili ste sa riešiť sústavu dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi dosadzovacou aj sčítacou metódou.

 

Teraz si ukážeme, čo je princípom poslednej - porovnávacej metódy a vyriešime si ňou určitú sústavu rovníc.

 

Princípom porovnávacej metódy je z obidvoch rovníc v sústave si vyjadriť tú istú neznámu a potom dať tieto výrazy do rovnosti. Dostaneme tak jednu lineárnu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime známymi ekvivalentnými úpravami. Druhú neznámu vypočítame dosadením do niektorej s pôvodných rovníc.

 

Príklad:

Riešte sústavu porovnávacou metódou a vykonajte skúšku správnosti

4left(frac{y}{5}+x right)-frac{2x+y}{2}=6

3x + y + 1 = 0

 

1. odstránime v prvej rovnici zátvorku a nasledovne zlomok - vynásobíme rovnicu spoločným menovateľom, druhú rovnicu odpíšeme

 

frac{4y}{5}+4x-frac{2x+y}{2}=6/ . 10

2 . 4y + 10 . 4x - 5 . (2x + y) = 60

3x + y + 1 = 0

 

2. prvú rovnicu upravíme, druhú opäť odpíšeme

 

8y + 40x - 10x - 5y = 60

3y + 30x = 60

3x + y + 1 = 0

 

3. z obidvoch rovníc si vyjadríme neznámu

 

3x+y+1=0Rightarrow y=-3x-1

3y+30x=60 Rightarrow 3y=60-30xRightarrow y=frac{60-30x}{3}

 

4. obidva výrazy dáme do rovnosti

 

frac{60-30x}{3}=-3x-1

 

5. dostali sme jednu rovnicu s jednou neznámou, ktorú riešime známymi ekvivalentnými úpravami

 

frac{60-30x}{3}=-3x-1/.3

60 - 30x = - 9x - 3/ + 30x; +3

60 + 3 = - 9x + 30x

63 = 21x/ : 21

3 = x

 

6. do pôvodnej prvej alebo druhej rovnice dosadíme za neznámu x číslo, ktoré sme vypočítali a vypočítame druhú neznámu ( my dosadíme do druhej rovnice, lebo tá je jednoduchšia)

 

3 . 3 + y + 1 = 0

9 + y + 1 = 0

10 + y = 0/ - 10

y = - 10

 

Riešenie sústavy zapíšeme ako usporiadanú dvojicu (poradie koreňov je podľa abecedy): K [ 3; - 10]

 

Skúšku správnosti urobíme pre každú rovnicu zvlášť:

Ľ1: 4left(frac{-10}{5} +3right)-frac{2.3+left(-10 right)}{2}=4left(frac{-10+15}{5} right)-frac{6-10}{2}=4.frac{5}{5}-frac{-4}{2}=4.1+2=6

P1: 6

Ľ1 = P1

Ľ2: 3 . 3 + (-10) + 1 = 9 - 10 + 1 =0

P2: 0

Ľ2 = P2, riešili sme správne

 

 

Pri riešení sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi môže rovnako ako pri riešení jednej lineárnej rovnice nastať jeden z týchto prípadov:

 

1. Sústava má práve jedno riešenie (náš príklad)

2. Sústava má nekonečne veľa riešení

3. Sústava nemá riešenie

 

Príklad:

Riešte sústavu rovníc porovnávacou metódou

 

frac{x-y}{2}=2y+3

2(x - 5y) = 5

 

1. najskôr si obidve rovnice upravíme

 

frac{x-y}{2}=2y+3/.2

2x - 10y = 5/ + 10y

 

2. z obidvoch rovníc si vyjadríme neznámu x

 

x - y = 4y + 6/ +y

2x = 5 + 10y/ : 2

x = 5y + 6

x=frac{5+10y}{2}

 

3. obidva výrazy dáme do rovnosti a rovnicu, ktorú dostaneme upravíme

 

5y+6=frac{5+10y}{2}/.2

10y + 12 = 5 + 10y/ - 10y; - 5

7 = 0, čo neplatí

 

Z toho vyplýva, že sústava rovníc nemá riešenie.

27.10.2009 16:50:45
Gabi






optimalizace PageRank.cz
Romanovy stranky
© 2009 - 2011 | WideZone™ | All rights reserved
Romanovy stranky

optimalizace PageRank.cz

Name
Email
Comment
Or visit this link or this one