Sústava dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi (riešenie pomocou dosadzovacej metódy)

Doposiaľ ste riešili lineárne rovnice s jednou neznámou. Existujú aj sústavy viacerých rovníc s viacerými neznámymi. V deviatom ročníku sa naučíte riešiť sústavu dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi.

 

Sústava dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi môže vyzerať aj nasledovne:

x + 2y = 5

-3x + y = - 1

 

Riešením sústavy dvoch lineárnych s dvomi neznámymi je dvojica koreňov, ktorá je spoločná pre obidve rovnice.

 

Pri riešení používame tieto metódy:

1. dosadzovacia (substitučná)

2. sčítacia (adičná)

3. porovnávacia (komparačná)

 

Keď sa naučíte riešiť sústavy všetkými tromi metódami, sami si budete určovať, akú metódu pri riešení konkrétnej sústavy použijete.

 

Vysvetlíme si riešenie sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi pomocou dosadzovacej metódy.

 

Príklad:

Riešte sústavu rovníc a vykonajte skúšku správnosti

x - 3y = - 5

2x + 6y = 10

 

1. z jednej rovnice (to je jedno z ktorej) si vyjadríme jednu neznámu (sami si zvolíme ktorú)

z prvej rovnice si vyjadríme neznámu x (výraz 3y prenesieme na druhú stranu rovnice, aby sme x osamostatnili)

x = - 5 + 3y

 

 

2. tento výraz dosadíme do druhej rovnice za neznámu x

2 . (- 5 + 3y) + 6y = 10

dostali sme jednu rovnicu s jednou neznámou, ktorú riešime známymi ekvivalentnými úpravami

 

- 10 + 6 y + 6y

= 10

- 10 + 12y

= 10 / + 10

12y

= 20 / :12

y

= frac{20}{12}

y

= frac{5}{3}

 

3. vypočítanú hodnotu y dosadíme do zadania tej rovnice, z ktorej sme si na začiatku vyjadrili jednu neznámu

x - 3 . frac{5}{3} = - 5

 

opäť sme dostali jednu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime

x - frac{15}{3} = -5

x - 5 = - 5 / + 5

x = 0

 

Riešením je dvojica x = 0, y = frac{5}{3}

 

Riešenie sústavy zapíšeme ako usporiadanú dvojicu (poradie koreňov je podľa abecedy): K left[0, frac{5}{3} right]

 

Skúšku správnosti urobíme pre každú rovnicu zvlášť:

Ľ1: 0 - 3 . frac{5}{3} = 0 - frac{15}{3} = 0 - 5 = - 5

P1: - 5

Ľ1 = P1

Ľ2: 2 . 0 + 6 . frac{5}{3} = 0 + frac{30}{3} = 0 + 10 = 10

P2: 10

Ľ2 = P2

 

Pri riešení sústavy dvoch lineárnych rovníc môže nastať jeden z týchto prípadov:

1. Sústava má práve jedno riešenie (náš príklad)

2. Sústava má nekonečne veľa riešení

3. Sústava nemá riešenie

 

Príklad:

Riešte sústavu rovníc

2x - y = 3

y + 6 = 2x

 

1. z druhej rovnice si vyjadríme neznámu y

y = 2x - 6

 

2. dosadíme tento výraz za y do prvej rovnice

2x - (2x - 6) = 3

dostali sme jednu rovnicu s jednou neznámou

2x - 2x + 6 = 3

6 = 3, čo neplatí

z toho vyplýva, že sústava rovníc nemá riešenie pre žiadnu dvojicu reálnych čísel

 

Ak máme sústavu rovníc zadanú v takom tvare, z ktorého sa nedá priamo vyjadriť jedna neznáma, najskôr si rovnice upravíme.

 

Napríklad:

frac{r+s}{2}-frac{2s}{3}=frac{5}{2}

frac{3r}{2}+2s=0

odstránime zlomky a rovnice upravíme

frac{r+s}{2}-frac{2s}{3}=frac{5}{2}/.6

3(r + s) - 2 . 2s = 3 . 5

3r + 3s - 4s = 15

3r - s = 15

frac{3r}{2}+2s=0/.2

3r + 4s = 0

dostali sme dve rovnice

3r - s = 15

3r + 4s= 0

Tieto potom riešime tak, ako v predošlom príklade.

27.10.2009 16:50:06
Gabi






optimalizace PageRank.cz
Romanovy stranky
© 2009 - 2011 | WideZone™ | All rights reserved
Romanovy stranky

optimalizace PageRank.cz

Name
Email
Comment
Or visit this link or this one