Riešenie sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi (riešenie pomocou sčítacej metódy)

Vieme, že sústava dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi sa dá riešiť rôznymi metódami:

1. dosadzovacia

2. sčítacia

3. porovnávacia

 

Pomerne veľa žiakov, keď sa naučí používať všetky tri metódy, dáva prednosť sčítacej.

 

Princípom tejto metódy je upraviť si obidve rovnice tak, aby sme po ich sčítaní dostali jednu rovnicu s jednou neznámou.

 

Príklad:

Riešte sústavu rovníc sčítacou metódou a vykonajte skúšku správnosti

frac{x+y}{3}+7=2left(3y+x right)
frac{2x+5y}{3}=1

 

1. odstránime zátvorku a nasledovne zlomky (vynásobíme každú rovnicu zvlášť jej spoločným menovateľom)

 

frac{x+y}{3}+7=2left(3y+x right)/.3
frac{2x+5y}{3}=1/.3

x + y + 21 = 18y + 6x

2x + 5y = 3

 

2. obidve rovnice si upravíme tak, aby boli neznáme x a tiež neznáme y aj čísla bez neznámych zapísané pod sebou

x + y + 21 = 18y + 6x / - 18y; - 6x; - 21

2x + 5y = 3

 

- 5x - 17y = - 21

2x + 5y = 3

 

3. nájdeme spoločný násobok čísel, ktoré sú pri neznámych x alebo y

(v našom príklade je jednoduchšie určiť spoločný násobok pre čísla -5 a 2, čo je číslo 10), to znamená, že prvú rovnicu (každý jej člen) vynásobíme číslom 2

- 5x - 17y = - 21 / . 2

- 10x - 34y = - 42

 

druhú rovnicu (každý jej člen) vynásobíme číslom 5

2x + 5y = 3 / . 5

10x + 25y = 15

 

4. obidve rovnice si zapíšeme pod seba a vidíme, že počet neznámych x je v obidvoch rovniciach rovnaký, len znamienko je opačné

- 10x - 34y = - 42

10x + 25y = 15

 

5. obidve rovnice spolu spočítame a dostaneme jednu rovnicu s jednou neznámou, ktorú riešime známymi ekvivalentnými úpravami

10x - 10x - 34y + 25y = - 42 + 15 ( tento krok si nemusíme písať)

- 9y = -27/ : (- 9)

y = 3

 

6. dosadíme si do zadania prvej alebo druhej rovnice za neznámu y číslo, ktoré nám vyšlo a vypočítame druhú neznámu x (v našom príklade je jednoduchšie dosadiť si za y číslo 3 do druhej rovnice)

frac{2x+5.3}{3}=1/.3

 

2x + 15 = 3 / - 15

2x = 3 - 15 / : 2

x = -12 : 2

x = - 6

 

Riešenie sústavy zapíšeme ako usporiadanú dvojicu (poradie koreňov je podľa abecedy): K [ - 6; 3]

 

Skúšku správnosti urobíme pre každú rovnicu zvlášť:

Ľ1: frac{-6+3}{3}+7=frac{-3}{3}+7=-1+7=6
P1: 2(3 . 3+ - 6) = 2(9 - 6) = 2 . 3 = 6
Ľ1 = P
Ľ2: frac{2.left(-6 right)+6.3}{3}=frac{-12+15}{3}=frac{3}{3}=1

P2: 1

Ľ2 = P2

 

Riešili sme správne.

 

Pri riešení sústavy dvoch lineárnych rovníc môže opäť nastať jeden z týchto prípadov:

1. Sústava má práve jedno riešenie (náš príklad)

2. Sústava má nekonečne veľa riešení

3. Sústava nemá riešenie

27.10.2009 16:49:31
Gabi






optimalizace PageRank.cz
Romanovy stranky
© 2009 - 2011 | WideZone™ | All rights reserved
Romanovy stranky

optimalizace PageRank.cz

Name
Email
Comment
Or visit this link or this one