Povrch a objem rotačného kužeľa

Rotačný kužeľ si môžeme predstaviť ako hrot zastrúhanej ceruzky. Takéto teleso môže vzniknúť napríklad otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jeho jednej odvesny.

 

r - polomer podstavy kužeľa

v - výška kužeľa

s - strana kužeľa

 

Podstava kužeľa má tvar kruhu, pričom polomer podstavy je daný dĺžkou druhej odvesny pravouhlého trojuholníka.

 

Povrch rotačného kužeľa sa skladá z podstavy a plášťa.

 

 

Ak rozvinieme plášť do roviny dostaneme kruhový výsek, ktorého polomer je strana kužeľa s 

a ktorého oblúk je vlastne obvod podstavy.

Povrch kužeľa vypočítame ako súčet obsahu podstavy a plášťa

S = Sp + Spl

kde

 

Sp=\pi r^{2}

Spl=\pi rs

dosadením dostaneme: S=\pi r^{2}+\pi rs

čo môžeme upraviť na: S=\pi r\left(r+s \right)

Objem rotačného kužeľa vypočítame podobne ako objem ihlana:

V=\frac{1}{3}Sp.v=\frac{1}{3}.\pi r^{2}v

 

 

Príklad:

Vypočítajte povrch a objem rotačného kužeľa s priemerom podstavy 18 cm a výškou 12 cm.

 

d = 18 cm, čiže r = 9 cm

v = 12 cm

S = ?

V = ?

S=Sp+Spl=\pi r^{2}+\pi rs

 

Pretože stranu s nepoznáme, musíme si ju vypočítať a to pomocou Pytagorovej vety, kde jedna odvesna je polomer podstavy a druhá výška kužeľa.

 

s^{2}=v^{2}+r^{2}

s^{2}=12^{2}+9^{2}

s^{2}=144+81

s=\sqrt[]{225}

s=15cm

 

Teraz si môžeme do vzťahu na výpočet povrchu dosadiť hodnoty, ktoré poznáme:

S=\pi 9^{2}+\pi .9.15

 

 

za π do výpočtov dosadzujeme číslo 3,14

S = 3,14 . 81 + 3,14 . 9 . 15

S = 254, 34 + 423,9

S = 678,24 cm2

V=\frac{1}{3}Sp.v=\frac{1}{3}\pi r^{2}v

 

V=\frac{1}{3}.3,14=\frac{1}{3}.9^{2}.12

 

V = 1017,36 cm3

27.10.2009 16:47:26
Gabi






optimalizace PageRank.cz
Romanovy stranky
© 2009 - 2011 | WideZone™ | All rights reserved
Romanovy stranky

optimalizace PageRank.cz

Name
Email
Comment
Or visit this link or this one