Lineárne rovnice s neznámou v menovateli

Doposiaľ ste počítali lineárne rovnice buď bez zlomkov alebo ak boli so zlomkami, neznáma bola v jeho čitateli.

 

Lineárna rovnica však môže obsahovať aj lomený výraz, čiže neznáma môže byť v menovateli zlomku.

 

Postup riešenia takýchto rovníc je podobný. Používame pri tom takmer rovnaké ekvivalentné úpravy:

 

1. najskôr si vždy musíme určiť podmienky, pri ktorých má daný lomený výraz zmysel - menovateľ sa nesmie rovnať nule

2. ak sú v čitateľoch zátvorky, odstránime ich

3. odstránime zlomok - vynásobíme celú rovnicu spoločným menovateľom

4. rovnicu, ktorú dostaneme, riešime známymi ekvivalentné úpravy

5. koreň rovnice, ktorý nám vyjde, porovnáme s podmienkami, ktoré sme si určili na začiatku (pre ktoré má lomený výraz zmysel)

6. ak koreň rovnice vyhovuje podmienkam, urobíme skúšku správnosti , ak koreň rovnice nevyhovuje podmienkam, rovnica nemá riešenie

 

 

Príklad:

Riešte rovnicu a vykonajte skúšku správnosti

frac{x+2}{2left(x+1 right)}-frac{1}{2}=-frac{x+4}{4left(x+1 right)}

 

 

1. upravíme si menovateľa na súčin a určíme podmienky, pre ktoré má daný vyraz zmysel

 

frac{x+2}{2left(x+1 right)}-frac{1}{2}=-frac{x+4}{4left(x+1 right)}, x ≠ - 1

 

 

2. odstránime zlomok - vynásobíme celú rovnicu spoločným menovateľom

 

frac{x+2}{2left(x+1 right)}-frac{1}{2}=-frac{x+4}{4left(x+1 right)}/.4left(x+1 right)

 

- prvý menovateľ sme rozšírili na spoločného číslom 2, preto aj čitateľa musíme vynásobiť číslom 2

- druhý menovateľ sme rozšírili na spoločného výrazom 2(x+1), preto musíme týmto istým výrazom rozšíriť aj čitateľa

- tretí menovateľ sa nezmenil, preto ani čitateľ nebudeme meniť, nesmieme však zabudnúť, že pred zlomkom je mínus

2(x+2) - 1.2(x+1) = - (x+4)

 

3. roznásobením odstránime zátvorky

 

2x + 4 - 2x - 2 = - x - 4

 

4. spočítame na obidvoch stranách rovnice, čo sa dá

 

2 = - x - 4

 

5. pripočítame k obidvom stranám rovnice číslo (-4)

 

2 + 4 = - x

 

6. vynásobíme celú rovnicu číslom (-1), aby sme dostali +x

 

- 6 = x

 

7. porovnáme, či koreň rovnice vyhovuje podmienkam určeným na začiatku

 

x ≠ -1

x = -6, vzhovuje

 

8. vykonáme skúšku správnosti, v ktorej do zadania rovnice si za neznámu dosadíme koreň, ktorý nám vyšiel

 

Ľavá strana: frac{-6+2}{2left(-6 right)+2}-frac{1}{2}=frac{-4}{-12+2}-frac{1}{2}=frac{-4}{-10}-frac{1}{2}=frac{4-5}{10}=-frac{1}{10}

 

Pravá strana: frac{-6+4}{4left(-6+1 right)}=-frac{-2}{4left(-6+1 right)}=-frac{-2}{4left(-5 right)}=-frac{-2}{-20}=-frac{1}{10}

 

Ľ = P riešili sme správne

 

Samozrejme nám môže vyjsť, že rovnica nemá riešenie.

 

Príklad:

Riešte rovnicu

frac{2}{x-3}=0/.left(x-3 right), x ≠ 3

 

 

2 = 0, čo neplatí , preto daná rovnica nemá riešenie

 

Niekedy môže vyjsť, že riešením rovnice môže byť každé reálne číslo

 

Príklad:

Riešte rovnicu a vykonajte skúšku

frac{1}{n+1}-frac{1}{n-1}=frac{-2}{n^{2}-1}/.left(n-1 right)left(n+1 right), n ≠ 1 a -1

 

 

n - 1 - (n + 1) = -2

n - 1 - n - 1

= - 2

 

 

-2 = -2, čo platí , preto koreňom rovnice je každé reálne číslo, okrem toho, ktoré sme si určili v podmienke na začiatku

 

Do skúšky si môžeme za neznámu dosadiť ľubovoľné reálne číslo. My si zvolíme n = 2

Ľavá strana: frac{1}{2+1}-frac{1}{2-1}=frac{1}{3}-frac{1}{1}=frac{1-3}{3}=-frac{2}{3}

Pravá strana: frac{-2}{2^{2}-1}=frac{-2}{4-1}=-frac{2}{3}

 

Ľ = P, riešili sme správne

27.10.2009 16:51:25
Gabi






optimalizace PageRank.cz
Romanovy stranky
© 2009 - 2011 | WideZone™ | All rights reserved
Romanovy stranky

optimalizace PageRank.cz

Name
Email
Comment
Or visit this link or this one