V tejto časti „Vlastnosti funkcií" sa budeme venovať ďalším dvom dôležitým vlastnostiam a to sú monotónnosť a ohraničenosť

 

1.1 Monotónnosť
 
A. Nech f je funkcia a M podmnožinou jej definičného oboru D(f). Budeme hovoriť, že funkcia f je rastúca funkcia na množine M, ak pre každé dva prvky x1, x2 in M, platí: ak x1 < x2, tak f(x1) < f(x2).
 
Jednoducho povedané, funkcia je rastúca ak pre dvojicu bodov x1 a x2, ku ktorým patria body y1 a y2, platí, že ak x1 < x2, tak aj y1 < y2.
 
B. Nech f je funkcia a M podmnožinou jej definičného oboru D(f). Budeme hovoriť, že funkcia f je klesajúca funkcia na množine M, ak pre každé dva prvky x1, x2 in M, platí: ak x1 < x2, tak f(x1) > f(x2).
 
Inak povedané, funkcia je klesajúca vtedy, ak platí, že ak x1 < x2, tak aj y1 > y2.
 
C. Nech f je funkcia a M podmnožinou jej definičného oboru D(f). Budeme hovoriť, že funkcia f je nerastúca funkcia na množine M, ak pre každé dva prvky x1, x2 in M, platí: ak x1 < x2, tak f(x1) ≥ f(x2)
D. Nech f je funkcia a M podmnožinou jej definičného oboru D(f). Budeme hovoriť, že funkcia f je neklesajúca funkcia na množine M, ak pre každé dva prvky x1, x2 in M, platí: ak x1 < x2, tak f(x1) ≤ f(x2)
 
E. Každá rastúca alebo klesajúca funkcia je prostá funkcia. Avšak neplatí opačná veta, čiže neplatí, že každá prostá funkcia je rastúca alebo klesajúca. Všetky spomínané 4 typy funkcií sa súhrnne nazývajú monotónne, funkcie rastúce a klesajúce voláme rýdzo monotónne.
 
 
1.2. Riešený príklad
 
Dokážte, že funkcia f: y = 5x - 3 je rastúca, funkcia g: y = -3x +1 je klesajúca a funkcia t: y = x2 nie je ani rastúca ani klesajúca na celom D(f). Nakreslite grafy. Graficky znázornite funkciu nerastúcu a neklesajúcu.
 
 
Riešenie:
 
1) Aby bola funkcia rastúca, musí platiť x1 < x2, tak f(x1) < f(x2). Ak si teda napíšeme
 
x1 < x2 ......|*5
5*x1 < 5*x2......|-3
5*x1 - 3 < 5*x2 - 3...a teda
f(x1) < f(x2)
 
2) Aby bola funkcia klesajúca, musí platiť x1 < x2, tak g(x1) > g(x2). Podobne ako v prvom prípade si zapíšme:
 
x1 < x2 ......|*(3)
3*x1 < 3*x2......|*(-1)
-3*x1 > -3*x2......| vieme, že ak
prenásobujeme (-1), tak sa nám znak menší zmení na väčší a naopak
 
-3*x1 > -3*x2......|+1
-3*x1 + 1 > -3*x2 + 1.....a teda
g(x1) > g(x2)
 
3) Dôkaz toho, že táto funkcia nie je ani rastúca ani klesajúca je veľmi jednoduchý. Stačí nám, ak dokážeme že táto funkcia nie je prostá na D(f). Majme x1 = 2 a x2 = -2. Ak dosadíme tieto hodnoty do predpisu funkcie dostávame:
 
t(x1) = 22 = 4
t(x2) = (-2)2 = 4
 
Nakoľko pre dve rôzne x existuje rovnaké y, tak platí, že funkcia nie je prostá, a preto nie je rastúca ani klesajúca vzhľadom na D(f) (môžeme si však D(f) rozdeliť na časti a v týchto častiach určovať monotónnosť funkcie. V našom prípade platí, že funkcia je rastúca v intervale <0, ∞) a klesajúca v intervale(-∞,0>).
 
4) GRAFY :

 


 
 
 
2.1 Ohraničenosť
 
A. Funkcia f sa nazýva zdola ohraničená na množine M, ak existuje také číslo c, že pre všetky x in M platí f(x) ≥ c
 
B. Funkcia f sa nazýva zhora ohraničená na množine M, ak existuje také číslo p, že pre všetky x in M platí f(x) ≤ p
 
C. Funkcia f sa nazýva ohraničená na množine M, ak je ohraničená zdola na množine M a súčasne je ohraničená zhora na množine M, teda vtedy, ak existujú také čísla c a p, že pre všetky x in M platí c ≤ f(x) ≤ p
 
D. Funkcia nemusí byť ohraničená, ohraničená zhora ani ohraničená zdola (lineárne funkcie typu : y = ax +b)
 
 
 
2.2 Riešený príklad
 
Určite ohraničenosť funkcií f, g, t, l :

 
Nakreslite grafy
 
Riešenie:

 
 
3.1 Neriešené príklady
 
 
1) Máme funkciu f: . Určte monotónnosť a ohraničenosť. Nakreslite graf
2) Máme funkciu g: y = frac{x + 1}{x - 3}. Určite monotónnosť a ohraničenosť. Nakreslite graf
 
 
3.2 Výsledky
1) Je zhora aj zdola ohraničená. Vzhľadom na D(f) funkcia nie je prostá, preto nie je ani rastúca ani klesajúca. Ak by sme si D(f) rozdelili na viacero intervalov, tak v týchto jednotlivých intervaloch môžeme určiť, či funkcia na danom intervale klesá alebo rastie, ale v rámci celého D(f) nie je ani - ani. V našom prípade funkcia rastie po hodnotu -2, potom klesá až do nuly a potom opäť rastie.
 

 
2) D(g) : x in (-∞, 3) cup (3, ∞).
x in (-∞, 3) → klesajúca, nie je ohraničená
x in (3, ∞) → klesajúca, nie je ohraničená

 

27.10.2009 16:58:23
Gabi






optimalizace PageRank.cz
Romanovy stranky
© 2009 - 2011 | WideZone™ | All rights reserved
Romanovy stranky

optimalizace PageRank.cz

Name
Email
Comment
Or visit this link or this one