V tejto časti sa budeme zaoberať definičným oborom, oborom hodnôt a párnosťou, resp. nepárnosťou, spojitými a prostými funkciami a rovnosťou funkcií.
 
 

1.1 Definičný obor, obor hodnôt, párne a nepárne funkcie

Definičný obor D(f) je množina všetkých x in M, ku ktorému môžeme priradiť práve jedno y in R, také že [x,y] in f.
Obor hodnôt H(f) je množina všetkých y in R, ku ktorej existuje aspoň jedno x in D(f) také, že [x,y] in f
Funkcia sa nazýva párna, ak pre každé x in D(f) platí: -x in D(f) a f(-x) = f(x) → v grafickom zobrazení súmerná podľa osi y
Funkcia sa nazýva nepárna, ak pre každé x in D(f) platí: -x in D(f)a f(-x) = -f(x) → v grafickom zobrazení súmerná podľa počiatku
 

Ak neplatí hore uvedené, funkcia nie je ani párna ani nepárna

 
 

1.2 Funkcie spojité a funkcie prosté

Nech je funkcia f definovaná v okolí bodu a. Hovoríme, že f je spojitá v bode a, ak ku ľubovoľne malému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pre všetky x z okolia bodu a s polomerom δ platí: f(x) sa nachádza v okolí bodu f(a) s polomerom ε. Ak vyjadríme okolia pomocou absolútnych hodnôt, dostaneme:
 
Funkcia f je spojitá na otvorenom intervale (a, b) práve vtedy, keď je spojitá v každom bode tohto intervalu.
Ako príklad uvádzam funkciu v tvare y = frac{1}{left(x - 1 right)left(x + 1 right)}. Táto funkcia nie je spojitá v bodoch 1 a -1, pretože frac{1}{0} neexistuje.
Grafom spojitej funkcie je súvislá, neprerušovaná čiara!!!
 
 
Prostá funkcia : pre každé x1, x2 in D(f) platí, že ak x1 ≠ x2, tak f(x1) ≠ f(x2). Laicky povedané, funkcia je prostá práve vtedy, ak pre rôzne x existujú rôzne y. Teda funkcia nie je prostá vtedy, ak pre jednu hodnotu y existujú aspoň 2 hodnoty x.
Príklady funkcií, ktoré nie sú prosté :

 
 
V prípade funkcie y = x2 vidíme, že pre y = 400 existujú 2 hodnoty x, a to x = 20 a
x = -20, v druhom prípade vidíme, že pre y = 20, existujú x = 20 a x = -20. Môžeme povedať, že pre jednu hodnotu y existujú dve hodnoty x, a preto funkcia nie je prostá.
 

1.3 Riešený príklad

Máme funkciu y = frac{left(2 - x right)}{left(x - 4 right)}. Nakreslite jej graf a určte jej D(f), H(f), či je prostá, spojitá, párna, nepárna
 
Riešenie:
a) graf funkcie:
 

 

 
b) táto funkcia je definovaná na celej množine R okrem čísla 4 (ak by sme dosadili x = 4 dostali by sme y = - frac{2}{0}); D(f) = R - {4} alebo D(f) : x in (-∞,4) cup (4, ∞)
 
c) obor hodnôt získame tak, že si z rovnice vyjadríme x: x = frac{2 + 4y}{1 + y} Vidíme, že y nemôže nadobúdať hodnoty -1 a preto H(f) = R - {-1} alebo H(f) : y in (-∞, -1) cup (-1, ∞)
 
d) táto funkcia je prostá, pretože pre rôzne x existujú rôzne y (viď. graf)
 
e)je spojitá na D(f), nie je spojitá iba v bode 4 (viď. graf)
 
 
f) Nakoľko f(-x) ≠ f(x) ani f(-x) ≠ -f(x), tak funkcia nie je ani párna ani nepárna
 
 
2.1 Funkcie rovnajúce sa
Hovoríme, že funkcia f sa rovná funkcii g, ak
1) D(f) = D(g)
2) Pre každé x in D(f) platí f(x) = f(g)
 
Čiže ak do predpisu funkcie f dosadíme hodnoty x z D(f) a jej hodnota v týchto bodoch sa bude rovnať hodnote funkcie g v týchto istých bodoch a súčasne definičný obor funkcie f je zhodný s definičným oborom funkcie g, tak môžeme prehlásiť, že funkcia f sa rovná funkcii g (stačí, aby sme našli jediný bod, v ktorom sa funkcie nerovnajú a už nemôžeme povedať, že sa rovnajú. Takže pri riešení nehľadáme body, v ktorých sa funkcie rovnajú, ale snažíme sa nájsť bod, v ktorom sú odlišné. Samozrejme, ak taký existuje)
 
Ak sú grafické zobrazenia dvoch funkcií reprezentované rovnakou čiarou, tak sa rovnajú
 
 

2.2 Riešený príklad

Zistite či sa nasledujúce funkcie rovnajú : .
Overte správnosť svojho riešenia.
 
Riešenie:
Najskôr zistíme, či sa definičné obory týchto funkcií rovnajú :
D(f1) : x in (-2, );
D(f2): x in (-2, ).
 
Nakoľko D(f1) = D(f2), tak sme splnili prvú podmienku rovnosti funkcií. Teraz ešte treba zistiť, či sa hodnoty funkcií v rovnakom bode z D(f) tiež rovnajú.
Ak x = -1, potom platí, že
 

 
Správnosť riešenia si overíme tak, že si nakreslíme graf.
 

Z grafu je vidno, že v intervale síce f1 = f2, ale vidíme, že od bodu 0 sa krivky funkcií rozdeľujú, a preto môžeme napísať, že f1 ≠ f2.
 
 
3.1 Neriešené príklady
Máme funkcie

 
Zistite D(f), H(f), párnosť, resp. nepárnosť, či sú spojité a prosté. Rovnajú sa tieto funkcie? Správnosť svojho riešenia si overte graficky.
 
 
3.2 Výsledky

 

D(f) =

D(g) =

H(f) = R
H(g) = R
Je spojitá a prostá na D(f), nie je ani párna ani nepárna. Funkcie sa rovnajú.
 
GRAF

 
27.10.2009 16:59:38
Gabi






optimalizace PageRank.cz
Romanovy stranky
© 2009 - 2011 | WideZone™ | All rights reserved
Romanovy stranky

optimalizace PageRank.cz

Name
Email
Comment
Or visit this link or this one