1.1 Základné pojmy
 
Polynomická funkcia je funkcia s predpisom
 
, kde
 

 
Typy polynomickej funkcie
 
 
1) Konštantná funkcia s nulovým stupňom → n = 0; y = a0; a0 ≠ 0
2) Konštantná funkcia, ktorej stupeň nedefinujeme → y = 0
3) Lineárna funkcia (PF 1.stupňa) → n = 1; y = a1x + a0; a1 ≠ 0
4) Kvadratická funkcia (PF 2.stupňa) → n = 2; y = a2x2 + a1x + a0; a2 ≠ 0
5) Kubická funkcia (PF 3.stupňa) → n = 3; y = a3x3 + a2x2 + a1x + a0; a3≠0
6) Bikvadratická funkcia (PF 4.stupňa) → n = 4; y = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0; a4 ≠ 0
 
 
1.2 Vlastnosti polynomickej funkcie
1) definovaná a spojitá na R
 
 
2) n je párne:
an > 0 → PF je ohraničená iba zdola a má globálne minimum
an < 0 → PF je ohraničená iba zhora a má globálne maximum
 
3) n je nepárne: funkcia nie je ohraničená ani zhora, ani zdola
an > 0: x rightarrow infty Rightarrow f(x) rightarrow infty ... x rightarrow -infty Rightarrow f(x) rightarrow -infty
an < 0: x rightarrow -infty Rightarrow f(x) rightarrow infty ... x rightarrow infty Rightarrow f(x) rightarrow -infty
 
4) Nech sú funkcie f a h najviac n-tého stupňa a platí, že f(x) = h(x) minimálne pre n+1 rôznych hodnôt x. Potom platí, že f = h (ak pre kubické rovnice f a h platí, že f(a) = h(a), f(b) = h(b), f(c) = h(c), f(d) = h(d), kde a,b,c,d sú rôzne čísla, potom aj f = h)
 
5) Polynomická funkcia n-tého stupňa je (n + 1) bodmi jednoznačne určená v prípade, že tie body neležia na PF nižšieho stupňa ako n.
 
6) Pre akúkoľvek polynomickú funkciu platí, že existujú také x1,x2 in R, že platí :
(1) na intervale je ohraničená
 
(2) na intervaloch je neohraničená a monotónna
 
 
7) Každá jedna polynomická funkcia má taký úsek D(f): <x1, x2> na ktorom prebehnú všetky zmeny monotónnosti, na ktorom funkcia nadobúda všetky lokálne extrémy
 
8) Nulové body - nulové miesta alebo tiež korene algebraickej rovnice f(x) = 0, kde f je polynomická funkcie stupňa n ≥ 1 , sú prvé súradnice priesečníkov grafu PF s osou x.
 
(1) Ak x0 je nulové miesto polynomickej funkcie f, ktorá má stupeň n ≥ 1, existuje polynomická funkcia g, ktorá má stupeň n - 1, taká že pre všetky x in R platí :
f(x) = (x - x0) * g(x)
kde člen (x-x0) sa nazýva koreňový činiteľ
 
(2) Ak x0 je nenulový celočíselný koreň algebraickej rovnice :
 

 
kde koeficienty a0, a1...an sú celé čísla, tak potom x0 je deliteľom a0
 
(1) a (2) sa využívajú pri riešení náročnejších algebraických rovníc.
(3) PF nepárneho stupňa má aspoň jedno nenulové miesto
(4) PF stupňa n môže mať najviac n-nulových miest
 
 
9) Grafy

 
 
1.3 Racionálne funkcie
  • sú funkcie, ktoré sú dané podielom dvoch polynomických funkcií.

 

  • Funkcie s predpisom : y = frac{P(x)}{Q(x)}, kde P(x) a Q(x) sú nesúdeliteľné polynómy, navyše Q(x) je nenulový polynóm

 

  • D(f) racionálnej funkcie sú všetky reálne čísla, okrem tých, pre ktoré Q(x) = 0

 

Typy racionálnych funkcií

 

(1) racionálne celistvá funkcia
- Q(x) je polynóm nultého stupňa (konštantná funkcia)
- Q(x) : y = 5
 
(2) racionálna lomená funkcia
- Q(x) nie je polynóm nultého stupňa
- Q(x) : y = 5x2 + 3
- v závislosti od stupňa - lineárna, kvadratická.....
 
(2.1) lineárna lomená funkcia
- funkcia s predpisom y = frac{a_{1}x + a_{0}}{b_{1}x + b_{0}}
- platí : b1 ≠ 0; xneq - frac{b_{0}}{b_{1}}a1b0 - a0b1 ≠0
- grafom je rovnoosá hyperbola
- asymptoty sú priamky rovnobežné so súradnicovými osami:

 
- funkcia prostá, neohraničená, rýdzo monotónna
- graf je súmerný podľa stredu, ktorým je priesečník asymptot
 
1.4 Riešený príklad
Riešte rovnicu x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0. Potom túto rovnicu chápte ako funkciu f a určite o aký typ ide, ohraničenosť, párnosť - nepárnosť. Nakreslite graf a popíšte ho
 
Riešenie:
Riešime na základe bodu 8(2) časti 1.2. Číslo 6 má delitele ±1; ±2; ±3; ±6. V prvej časti prehlásime číslo 1 za koreň tejto rovnice, čiže dostaneme člen (x - 1), ktorým predelíme celú rovnicu. Ak nedostaneme žiadny zvyšok, číslo 1 je jedným z troch koreňov tejto rovnice.

 
Nakoľko zvyšok je nulový, tak číslo 1 je naozaj jedným z koreňov rovnice. Výsledok tohto podielu je kvadratická rovnica, ktorej korene vieme jednoducho určiť:
x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
 
Záver : x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3
 
Máme teda f: y = x3 - 6x2 + 11x - 6. Stupeň tejto funkcie je n = 3 a teda je to funkcia kubická. Nakoľko n je nepárne funkcia nie je ani zhora ani zdola ohraničená na D(f). Nie je ani párna ani nepárna
 
GRAF :

 
Z grafu môžeme vidieť, že na intervale <0; 3> je funkcia ohraničená zhora a v bode x = 1,5 má maximum, naopak zdola je ohraničená tiež a v bode x = 2,75 má minimum. Platí to však iba pre tento interval. Po hodnotu 1,5 funkcia rastie, potom klesá do hodnoty 2,75 a potom znova rastie až po koniec intervalu. Čiže vidíme, že na tomto úseku prebehli všetky zmeny monotónnosti a našli sme ako maximum tak aj minimum.
 
Z grafu tiež môžete vidieť, že táto funkcia má tri nulové body, čiže rovnica zodpovedajúca tejto funkcii má tri korene.
 
 
2.1 Neriešené príklady
 
 
Máme funkciu f : y = x3 - 9x2 + 26x - 24. Určite vlastnosti tejto funkcie - ohraničenosť, párnosť, nepárnosť, typ funkcie, ohraničenosť na intervale <1; 4>, extrémy na tomto intervale. Určite nulové body funkcie. Výsledky porovnajte s koreňmi rovnice
 
x3 - 9x2 + 26x - 24 = 0
 
 
2.2 Výsledky

 
Nakoľko n = 3, funkcia je kubická a na R nie je ohraničená ani zhora ani zdola, nie je ani párna ani nepárna. Na danom intervale je funkcia ohraničená aj zhora aj zdola. Maximum nadobúda v bode 2,5 a minimum v bode 3,5. Takisto po hodnotu 2,5 rastie potom klesá až po hodnotu 3,5 a potom opäť rastie až po konečný bod intervalu. Nulové body sú v bode 2; 3; 4.
27.10.2009 17:00:13
Gabi






optimalizace PageRank.cz
Romanovy stranky
© 2009 - 2011 | WideZone™ | All rights reserved
Romanovy stranky

optimalizace PageRank.cz

Name
Email
Comment
Or visit this link or this one